Александр Сергеевич Зацепин родился 10 марта 1926 года в Новосибирске. Отец — Сергей Дмитриевич Зацепин. Мать — Валентина Болеславовна Оксентович. Окончив школу, поступил в Новосибирский институт инженеров железнодорожного транспорта. В марте 1945 года его отчислили из вуза и призвали в армию. Будучи на военной службе, Зацепин самостоятельно освоил игру на нескольких инструментах и в итоге попал в Новосибирский армейский ансамбль песни и пляски.
После демобилизации в 1947 году Зацепина пригласили в Новосибирскую филармонию. Во время гастролей в Алма-Ате Зацепин решил подать документы в музучилище, но ему порекомендовали сразу поступать в консерваторию.
Зацепин окончил в 1956 году консерваторию в г. Алма-Ата по классу фортепиано (учитель Е. Г. Брусиловский). Дипломная работа — балет «Старик Хоттабыч», который поставили в Алма-Атинском театре оперы и балета. Работал музыкальным оформителем на студии «Казахфильм». В том же 1956 году написал музыку к своему первому фильму «Наш милый доктор». Чтобы записать музыку, приходилось часто приезжать в Москву, так как на «Казахфильме» не было нужных условий для работы. В результате руководитель Московского симфоджаза Виктор Кнушевицкий предложил Зацепину перебраться в столицу.
В Москве поначалу трудно было найти работу. Зацепин подрабатывал, играя на аккордеоне в ресторанах. Тогда уже весьма популярный режиссёр Леонид Гайдай, приступив к работе над новой комедией «Операция „Ы“ и другие приключения Шурика», подыскивал композитора....
